1. Rauchfahnen: Zuerst steigt Rauch (Zigarette, Raucherstäbchen) linear auf. Bald erreicht er aber eine Stelle, wo er sich wirbelnd auszubreiten beginnt.
2. Wetter: Lange meinte man, es wäre mit genügend Daten von vielen Messstationen möglich, den Austausch von Hoch- zu Tiefdruckgebieten zu berechnen und somit das Wetter längerfristig vorherzusagen. Die kleinste änderung eines Faktors, der das Wetter beeinflusst, kann aber unerwartete und chaotische Auswirkungen haben.
3. 3. Weltall: Einst glaubte man noch an die Sphärenharmonie und an die Idee, dass im All alles schön rational geordnet seine Bahnen zieht. Heut kennt man aber Hyperion (einen Saturnmond), der «chaotisch» herumtorkelt.
4. Tropfenbildung am Wasserhahn: Nach logischer überlegung müsste der Wasserstrahl nach unten immer dünner werden, - er bildet aber Tropfen.
5. Verkehrschaos: Beim wachsenden Verkehr wird alles nicht einfach etwas langsamer, sondern irgendwann nach chaotischen Schnell- und Schleichphasen kommt plötzlich der Zusammenbruch.
6. Klimaumschlag in Südamerika «El Niño: In Südamerika gibt es ein Gebiet, in dem zeitweise das Klima durch das Ansteigen der Temperatur um mehrere Grade umkippt, was zu Folgeschäden wie Tiersterben führt.
7. Pendel: Ein Pendel, das ich an einer zweiten Schur aufhänge, entwickelt je nach Anfangsimpuls ganz andere chaotische Schwingungen. Die Bahn eines chaotischen Pendels ist nicht mehr im voraus berechenbar. Wenn wir es loslassen, folgt es zuerst den mechanische Gesetzen. Kleinste änderungen bewirken etwas Unvorhersagbares (Schmetterlingseffekt), und die Kausualität stimmt nicht mehr.
8. Wirbelbbildung im Fluss, Bergbach, Kanal: Im Kanal fliessen zwei gleiche Bretter mit einer starken Kausualität (vorhersagbar). Im Bach mit Steinen aber ist keine Aussage möglich.
9. Modell Fuchs/Maus: x1 = ax (1 - x) ­> Formel mit Ausgangspunkt Fuchspopulation (x1), Bremsterm (1-x) zur Rückkoppelung. Wovon hängt die Entwicklung ab? Von der Anzahl der Anfangstiere? Nein: Vermehrungsfaktor! Mehr Füchse ­> weniger Mäuse, keine Mäuse ­> Aussterben der Jäger. Chaotische Entwicklungserscheinungen mit scheinbar stabilen Zwischen-phasen, bis einmal plötzlich der Systemzusammenbruch kommt. Was ist effektiv und wie beeinflussbar?
10. Wellenbildung
11. Plötzliche Naturgewalten
12. Videorückkoppelung
13. Börse
14. Wirtschaft
15. Leben, Krankheit, Herzstillstand, Tod
16. Lehren und Lernen

1. Wurzelziehen: Irgendeine Zahl wählen und mehrmals die Wurzel ziehen: ­> immer 1. Nach vielen Iterationen (Rückkoppelung) zielt die Zahl immer gegen den Attraktor 1.
2. Chaotische Pendel: Ein Pendel schwingt immer auf die grösste Höhe links und rechts aus (dort Geschwindigkeit 0). Aber schlussendlich pendelt es unten aus (Attraktor).

Lorenz-Attraktor: Lorenz entdeckte 1960 das nichtlineare dynamische System des Wetters. Ein mit Messungen bestimmter Anfangspunkt (Zustand) erhält durch die Verknüpfung mit dem Gesamtsystem eine unermessliche Unbestimmtheit. Der wahre Zustand kann in jedem Punkt des Attraktors liegen. Bsp. Wetter - lokal unvorhersagbar, aber global stabil.

1.4 Turbulenz

Turbulenzen treten überall in der Natur auf (Luftströmungen, Lava, Umspülung von Steinen, Wetterkatastrophen) und stellen die Menschen oft vor grosse Probleme. Bei gleichmässig fliessendem Wasser entstehen stabile Wirbel, die einen punktförmigen Attraktor haben und nach Störungen zum gleichen Grundmuster zurückkehren. Bei zunehmender Strömungsgeschwindigkeit werden die Wirbel instabil, fransen aus (Grenzzyklus), und zuletzt scheint jedes Wasserteilchen (Wirbel im Wirbel im Wirbel) sich zufällig und chaotisch zu bewegen (seltsamer Attraktor).

1.5 Iteration, Rückkoppelung

Von at. «iterare» = gebrochen. Rückkoppelung durch Wiederaufnahme und Wiedereinbeziehung von allem, was vorher war (Bsp.: Erneuerung aller Körperzellen in etwa 7 Jahren, künstliche Intelligenz, Wettersysteme). Wiederholte Anwendung einer Rechenvorschrift, wobei jedes Ergebnis als Ausgangspunkt für den nächsten Schritt dient. Negative (hemmende) und positive (verstärkende) Rückkoppelungen entdeckte man bei Mikrophonen, die zu nahe am Lautsprecher sind und durch das Rückschicken des aufgefangenen Tones auf den Verstärker ein chaotische Geräusch produziert. Rückkoppelung ist Spannung zwischen Ordnung und Chaos. Rückkoppelungen kommen überall auf vor: Auf allen Ebenen des Lebendigen, in psychologischen Abläufen, in der Evolution des ökologische Gesamtsystemes und in mathematischen, nichtlinearen Gleichungen.

1.6 Beispiele Iterationen

- Zahlenverdoppelung (exponentielles Wachstum). x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4; 8, 16, 32, x1 = 1.5, x2 = 3, x3 = 6; 12, 24, 48,

- Verdoppelung der Zahlen mit Weglassen des ganzzahligen Anteils x1 = 0.9134, 2xn = 1.9134 ­> 0.9134; x1 = 0.707070; 0.414141; 0.828282; 0.656565; 0.313131; 0.626262; 0.252525; 0.505050; 0.010101; 0.020202; 0.040404; 0.080808; 0.161616; 0.323232; 0.646464; 0.292929; 0.585858; 0.707070. Nach 17 Iterationen landen wir bei der Ausgangszahl.

- x1 = 0.707070; Wenn wir in der 4. Dezimalstelle einen kleinen Fehler machen ­> 0.707170 bläht sich der Fehler bis zur 11. Iteration so auf, dass sich die Zahlenfolge vollständig von der ursprünglichen entfernt. 0.707170; 0.414341; 0.828682; 0.657365; 0. 314731; 0.629462; 0.258924; 0.517849; 0.035698; 0.071396; 0.142792; 0.285584

- Nicht nur Gleichungen haben eine extreme Empfindlichkeit gegenüber ihren Anfangsbedingungen. Forscher beobachten dieselbe Dynamik in Flüssigkeiten. Bsp. Kleine Wirbel im Blutstrom, in dem bebachbarte Punkte nebeneinander herfliessen oder in völlig anderen Bereichen der Flüssigkeit landen können (Schmetterlingseffekt).

- Das Dehnen und Falten im Teig eines Bäckers zeigt bildhaft die Bewegungen, wie sie in nichtlinearen Iterationen vorkommen. Benachbarte Punkte des Teigs geraten auseinander, und es entsteht ein komlipziertes , unvorhersagbares Muster.

- Seltsame Attraktoren und Iterationen sind mitten in Ordnungen anzutreffen und können Phänomene wie einen Herzanfall bewirken.

1.7 Beispiel algebraische Iteration

Eine Iteration liegt vor, wenn mit einer Zahl eine Rechnung ausgeführt wird, dann mit dem Resultat als Ausgangspunkt dieselbe Rechnung, mit dem neuen Resultat wiederum dieselbe, usw. Die Iteration und die damit verbundene Rückkopplung stellt eines der wichtigsten «Werkzeuge» bei der Entwicklung mathematischer Fraktale dar. Das Prinzip der Rückkopplung und der Iteration ist sehr alt. Es war bereits den sumerischen Mathematikern vor rund 4000 Jahren bekannt (beispielsweise benutzten diese iterative Schritte zur Berechnung der Quadratwurzel einer Zahl).

Mit dem Taschenrechner und dem Begriff Quadratzahl können wir einen ersten Einblick gewinnen. Es wird eine reelle Zahl c als Konstante gewählt und nun eine Zahlenfolge hergestellt.
a0 = 0 Mit der Ausganszahl a0, hier der 0, beginnend, wird eine Rechenoperation
a1 = a02 + c ausgeführt, mit dem Resultat dieselbe, usw. Kurz: Es wird eine Folge von
a2 = a12 + c Iterationen berechnet.

Im allgemeinen strebt die Folge gegen ƒ oder einen durch c bestimmten Grenzwert, den wir g(c) nennen. So erhalten wir z.B. g (0,2) ª 0,28 und g (-0,5) ª-0,37. Trägt man g(c) über c in ein Koordinatensystem ein, ergibt sich so zunächst eine Kurve. Geht man aber zu kleineren (c) über, dann tritt etwas überraschendes ein. Bei (c) -1,1 etwa pendeln sie Folgenglieder, die mit geradem Index streben gegen eine andere Zahl, als die mit ungeradem Index. Man nennt diese Zahlen Attraktoren, weil sie die Zahlen der Folge gleichsam anziehen. Im Achsenkreuz verzweigt sich die Kurve nach links. Zu einem c gehören nun zwei Zahlen g(c). Bei übergängen zu noch kleineren c-Werten zeigt sich, dass sich auch diese Zwei wieder verzweigen. Wir erhalten dann 4 Attraktoren, danach 8, Š . Bei etwa c ‚ -1,5 ergibt sich eine völlig neue Situation. Nun ist überhaupt keine Struktur zu erkennen. Man spricht von der Strukturlosigkeit des Chaos. Der Mathematiker Feigenbaum stellte dies in seinem «Feigenbaumdiagramm» dar (siehe Werkstattposten Chaos, Bifurkation). Wir untersuchen nun, was kleine änderungen im Rechenprozess (an+1=an2+c) bewirken, wenn wir für a = (0.5/1.5/ und C= (1/-1/) einsetzen. Das Ergebnis der zweiten Iteration (a = 0,5; C = -1) ist überraschend. Es entstehen zwei Folgen mit verschiedenen Grenzwerten, nämlich -1 und 0. Man nennt diese beiden Zahlen Attraktoren (attrahere = heranziehen). Bei der Ausgangszahl a = 1,5 führt zu den gleichen Attraktoren, aber die Ausgangszahl 2 strebt gegen ƒ.

Die Entdeckung, dass zwei sich beliebig wenig voneinander unterscheidende Zahlen sich bei der Iteration völlig verschieden verhalten, also zu gänzlich anderen Ergebnissen führen, kann mit bestimmten Situationen in der Natur verglichen werden. So können zwei eng benachbarte Regentropfen über einer Wasserscheide in die Nordsee oder in das Mittelmeer gelangen (Schmetterlingseffekt).

1.8 Die geometrische Iteration

Fraktale kann man auch rein geometrisch gewinnen, indem man von einer einfachen Punktmenge M0 ausgeht. An ihr werden nun gleichzeitig mehrere Abbildungen vorgenommen und die Bilder zu einer neuen Punktmenge M1 vereinigt. Im nächsten Schritt wird mit M1 ebenso verfahren.

1. M0 wird um 0 im Verhältnis 1:÷2 zentrisch gestreckt und um 0 um 45° gedreht.
2. M0 wird in derselben Weise gestreckt, aber nun um 0 um 135° gedreht und um 1 nach rechts verschoben.

1.9 Bifurkation

Wenn die Geburtenrate einer Tierpopulation unter 1 ist, wird die ganze Population auf 0 abfallen und erlöschen. Ist sie aber grösser, wir sie zunächst abfallen, um sich dann auf einem konstanten Wert (ca. 2/3 der ursprünglichen Grösse) einpendeln. Es scheint, dass 66% ein Attraktor geworden ist. Bei einer Erhöhung der Geburtsrate auf den kritischen Wert 3,0 passiert etwas Neues. Der Attraktor 0,66 wird instabil und spaltet sich in zwei, d.h. die Population nähert sich nun nicht mehr einem Wert, sondern schwankt zwischen zwei stabilen Werten hin und her. Bei einer weiteren Erhöhung über 3,4495 ergibt sich eine neue Spaltung (4 Werte) und ab 3.56 haben wir Bifurkation in acht Fixpunkten (Periodenverdoppelung). Ab 3,56999 wird die Anzahl der Attraktoren unendlich gross und endet im Chaos.

2. Fraktale

Von lateinischen « frangere, fractum» = brechen, gebrochen. Mit Hilfe der fraktalen Geometrie lassen sich Ordnungsprinzipien im Chaos zeigen. Der Begriff wurde 1975 vom Mathematiker Benoit Mandelbrot geprägt. Fraktale sind oft selbstähnliche Gebilde, deren Ränder nicht glatt, sondern unendlich rauh sind. Jede Vergrösserung zeigt wiederum neue, ähnliche Strukturen (Apfelmännchen). Das Aussehen im Detail wird in immer kleineren Skalen beibehalten. Fraktale Gebilde haben eine gebrochene Dimension (Würfel = 3 Dimensionen). Viele natürlichen Formen und nichtlineare Systeme haben fraktale Eigenschaften oder verhalten sich fraktal (Wolken, Gebirge, Bronchien, Pflanzen, Galaxien, Küstenlinien, Lunge, Wetter, Blutkreislauf, Gehirne). Die Anziehungskraft der Fractale liegt vermutlich darin, dass in jedem seiner «Teile» ein Bild des Ganzen enthalten ist.

2.1 Beispiele von Fraktalen

• Z2+C = irgend eine beliebige Zahl. Diese Formel schickt der Computer auf eine Reise in die Mandelbrot-Menge. Z ist eine komplexe Zahl, die sich ändern kann, und C ist eine feste komplexe Zahl. Der Computer muss das Ergebnis der Addition in der nächsten Runde für Z einsetzen.
• Nach Mandelbrot zeigt sich die fraktale Struktur von Turbulenzen, dass sie in Böen auftritt. In einer stürmischen Nacht wird der Wind plötzlich nachlassen, dann wieder aufleben, Blätter kreisen lassen, bis sie wieder niedersinken.. Diese Turbulenzen wiederholen sich in immer kleinerem Massstab.
• Auch die von Lorenz als chaotisch erkannten Verhaltensmuster des Wetters hält man heute für fraktal.
• Die Verzweigungen eines lebenden Baumes sind offensichtlich fraktal. äste haben Zweige, diese haben wieder kleinere Zweige, und die Details wiederholen sich bis zum kleinsten Zweiglein. Leonardo da Vinci stellte dazu schon fest, dass die äste bei fortschreitender Verzweigung gerade so dünner werden, dass die Gesamtdicke (alle äste zusammengepackt) insgesamt gleich bleibt.
• Fraktale acht- bis 30fache Verzweigungsstruktur der Venen und Arterien zur Blutversorgung. Fraktale Selbstähnlichkeit durchzieht die Körper der Organismen. Der Körper ist eine Vernetzung von lauter selbstähnlichen Systemen.
• Kunst: Labyrinthe, iterative Sprachspiele, Gesangsmuster, raffiniert verflochtene keltische Zeichnungen, archetypische Muster auf rituellen, alten Gefässen rufen in uns oft das Gefühl des Wiedererkennens (des schon Gesehenen) hervor und hängt mit Fraktalen und Attraktoren zusammen. Auch die Kunst geht der Spannung zwischen Ordnung und Chaos nach.

2.2 Selbstähnlichkeit bei fraktalen Gebilden

Schon um 1900 fand der Mathematiker Koch ein fraktales Gebilde, indem er eine gegebene Strecke drittelte und über dem mittleren Drittel ein gleichseitiges Dreieck errichtete. Mit den entstandenen vier gleich langen Strecken machte er nun dasselbe wie mit der Ausgangsstrecke, usw. Wenn man von einem gleichseitigen Dreieck ausgeht, entsteht ein schneeflockenähnliches Gebilde (Schneeflockenkurve) das, obwohl geschlossen, unendlich lang ist.

Die entstehenden Formen sind selbstähnlich. Ein Figur heisst selbstähnlich, wenn Teile der Figur kleine Kopien der ganzen Figur sind. Farne zeigen z.B. als Ganzes, in den Verstrebungen und den Unter-Verstrebungen ebenfalls Selbstähnlichkeit. Ein mit einem Fraktal-Programm auf dem Bildschirm gezeichnetes Farnblatt lässt sich kaum von einem echten unterscheiden. Andere Beispiele aus der Natur: Blumenkohl, die Zweige eines Baumes, …

2.3 Wie lang ist die Küste Grossbritanniens?

ähnliche Erscheinungen haben wir, wenn wir die Länge einer Küste berechnen wollen und die Feinheit bis auf die Grösse eines Sandkornes wählen. Misst man die Länge mit Stäben in Metergrösse, könnte man sagen, die Anzahl der Stäbe, die ich benötige, um sie einmal der Küste entlang auszulegen, entspricht der Küstengrösse Grossbritanniens. Doch wenn man dasselbe noch einmal mit kürzeren Stäben macht, könnte man feineren Kurven der Küstenlinie folgen. Würde diese Länge addiert, würde eine grössere Küstengrösse herauskommen. Je kleiner die Stäbe, desto feiner die Verästelungen, denen sie folgen können. Die Küstenlänge wächst ins Unendliche. Diese Gebilde, wie die genannte Küste, werden Fraktal genannt und ihre Länge wird in der fraktalen Dimension angegeben. Vorstellbar ist diese Zahl nicht, denn in der gewohnten Sicht der Welt kommt sie nicht vor. Es gibt keine drei Dimensionen, sondern fraktale Gebilde haben einen Bruch (=fractus) als Zahl ihrer Dimension. Die Küste besteht aus weiter Ferne betrachtet aus einigen grossen Buchten - je genauer man die Küste fokussiert, desto mehr kleinere Buchten in den grossen Buchten tun sich auf.

2.4 Nichtlineare Fraktale (Mandelbrot- und Julia-Mengen)

2.4.1 Mandelbrot-Mengen

Die berühmtesten Vertreter dieser Gruppe von Fraktalen sind zweifelsohne die Mandelbrot-Menge (auch M-Menge genannt) und die Julia-Mengen (Gaston Julia, 1893-1978). Diese Mengen haben, seitdem sie Mandelbrot Ende der 70er Jahren vorgestellt und somit der öffentlichkeit zugänglich gemacht hat, einiges an Aufsehen erregt. Sie sind die Geburtsstätten der berühmtesten und schönsten Fraktal-Bilder der Welt. Bis heute haben sie viele Künstler inspiriert, die Wissenschaftler vor immer neue Fragen gestellt und die öffentlichkeit durch ihre faszinierende Farbenpracht und anmutig wirkende Formenvielfalt magisch angezogen.

Die Mandelbrot-Menge ist das klassische Fraktal. Es ist einfach ein Graph in der komplexen Zahlenebene. Die x-Achse repräsentiert den Realteil, die y-Achse den Imginärteil einer komplexen Zahl. Es gibt keine isolierten Punkte in der komplexen Zahlenebene: Die Mandelbrotmenge ist zusammenhängend. Die obere und untere Hälfte der Bilder sind achsensymmetrisch zueinander. Die Hauptmotive scheinen sich zu wiederholen (aber nie genau gleich) bei Vergrösserungen. Die Ordnung im Chaos: Fraktale ähneln einander immer wieder selbst. Die Menge aller komplexen Zahlen c, für die die Folge nicht gegen ƒ strebt, bilden die sog. Mandelbrotmenge (Apfelmännchen).

Der Mathemaiker Mandelbrot dehnte die Untersuchungen Feigenbaums auf die Menge der komplexen Zahlen aus und öffnete damit das Tor zur Welt der Fraktale. Einem c entspricht nun ein Punkt der komplexen Zahlenebene. Diesen Punkt färbte Mandelbrot genau dann schwarz, wenn die zugehörige Iterationsfolge nicht dem Betrage gegen ƒ strebt. Die Menge der so entstehenden schwarzen Punkte heisst Mandelbrotmenge oder wegen ihrer Form «Apfelmännchen». Wenn man dem Rand der scheinbaren Kurve entlang wandert, muss man sogar in den kleinsten Abschnitten laufend seinen Kurs ändern, weshalb Mandelbrot in Anlehnung an das Wort brechen (frangere, fractus) von einem Fraktal spricht.

Seit der Entdeckung der fraktalen Geometrie vor knapp 20 Jahren ist man geteilter Meinung über ihre Bedeutung, sei es nun in der Mathematik oder in anderen Bereichen. Die einen stempelten Fraktale als belanglose bunte Bilder ab, die lediglich eine Laune der Natur darstellen und keine weitere Betrachtung oder Untersuchung wert sind. Die anderen hingegen sprühten über vor Euphorie und versprachen sich von der neuen Welt, in die sie voller übereifer vordrangen und die sie mit einer geradezu kindlichen Begeisterung und Faszination erkundeten, revolutionäre neue Erkenntnisse, die die bisherige Weltanschauung völlig verändern sollten.

2.4.2 Julia-Mengen

Nach dem französischen Mathematiker Gaston Julia sind die Julia-Mengen benannt. Die Julia-Menge verwendet die gleiche Iterationsvorschrift wie die Mandelbrot-Menge, nœmlich zn+1 = zn2 + c, nur bleibt hier die komplexe Zahl c stets konstant. Dafür ist jetzt der Startwert z0 das Interessante.